Ola!

Na esperança de que minha última mensagem tenha despertado o interesse de alguém em relação a matematica do caos estou postando este texto interessante que certamente poderá enriquecer o debate sobre determinismo de nosso universo e sua previsibilidade

Abraços!
Thiago Tamosauskas

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INTRODUÇÃO À TEORIA DO CAOS

Pequenas condições iniciais das variaveis determinam o desencadeamento futuro de todo o sistema.

Você certamente já planejou algo do tipo: “amanhã à tarde irei à casa de meu colega para juntos irmos à praia”. Então você acorda com um belo dia ensolarado mas aos poucos o céu fica completamente nublado, mesmo com a previsão meteorológica: “Fim de semana com sol durante o fim de semana em todo o Estado”.

Se eu lhe disser que o que aconteceu de inesperado em seu dia é culpa do “caos”, você deverá concordar comigo e até mesmo dizer que o clima mundial é realmente um caos. Pois bem, vamos nos deter um pouco nesta palavra: caos. Ela era usada pelos gregos significando vasto abismo ou fenda. A palavra também alude ao estado de matéria sem forma e espaço infinito que existia antes do universo ordenado, suposto por visões cosmológico-religiosas. E, finalmente, o sentido mais usual de caos: desordem, confusão.

Você poderá ficar triste e dizer: devido a esta desordem do caos, nunca saberei quando o clima estará propício a ir à praia. Mas e se eu lhe disser que por trás desta desordem climática há uma ordem escondida?

Assim, a teoria do caos não é uma teoria de desordem, mas busca no aparente acaso uma ordem intrínseca determinada por leis precisas. Além do clima, outros processos aparentemente casuais apresentam certa ordem, como por exemplo o quebrar das ondas do mar, crescimento populacional, arritmias cardíacas, flutuação do mercado financeiro, etc...

Talvez isto seja animador, mas você ainda deve saber que em situações onde aparentemente há ordem, como por exemplo o movimento de um pêndulo de relógio cuco, um pouco de caos ainda subsiste. Esta é a teoria do caos: há ordem na desordem e desordem na ordem.

Caos: ordem além da compreensão.

Desde que surgiu como uma estrutura de idéias articuladas, na década de 60, a teoria do Caos tem suscitado novos, amplos e formidáveis debates sobre as relações de causa e efeito que regem o Universo.

Durante séculos, os cientistas analisaram os fenômenos exclusivamente à luz da leis da física clássica. Nas últimas décadas, no entanto, novas experiências indicaram que pequenos desvios nas condições iniciais de um processo são capazes de alterá-lo radicalmente com o decorrer do tempo. Trata-se do já famoso "efeito borboleta". De acordo com essa fórmula-provérbio, o bater de asas do inseto, na Ásia, pode determinar ou impedir a ocorrência de uma terrível tempestade nos Estados Unidos. Com base em novos estudos, percebe-se que uma incrível e sutil ordem microscópica de relações está presente onde antes presumia-se que houvesse apenas o caos.

Todos os eventos, dos mais corriqueiros aos mais complexos, obedecem a esse fantástico sistema anônimo de organização. Por que choveu tanto nesse mês de estiagem? Por que ocorreu tal mutação genética? Por que, chutada da linha de fundo, a bola tomou tal efeito e caiu dentro do gol?

Nos últimos anos, o desenvolvimento dos computadores tem proporcionado uma rápida evolução no conhecimento dos modelos que determinam a "bagunça" da grande casa cósmica. A capacidade de realizar milhões de cálculos em poucos segundos, permite às máquinas encontrar padrões precisos em acontecimentos antes tidos como aleatórios. O grande desafio de hoje é empreender a viagem de volta dos redemoinhos fractais de infinitas profundidades. Trata-se de decifrar a ordem invisível e ampliar o ínfimo controle do homem sobre a natureza.

Definição do Caos

Como vimos a matemática do caos nada tem haver com anarquia ou bagunça, mas trata da dinâmica complexa encontrada em padrões simples. Em resumo, a teoria do caos mostra que  sistemas que obedecem a leis exatas da natureza, produzem muitas vezes resultados aleatórios. O que antigamente era simples torna-se agora complicado, mas em compensação, o que antes se pensava ser complicado tornou-se simples.

A teoria do caos trata do estudo de sistemas dinâmicos complexos não-lineares. Ora o que querem dizer todos estes palavrões?  Complexo pode ser interpretado literalmente, não-linear é toda a função de transformação da função x (por exemplo) que seja não-linear. Por outras palavras polinómios diferentes do tipo ax + b, onde o declive (ou inclinação) da recta nos é dado pelo valor de a, e a ordenada é b quando a recta cruza o eixo das abcissas (eixo dos xx). O que faz com que a função y seja uma função não-linear de x é se x surge multiplicada por uma outra variável, ou multiplicada por si própria. Dinâmicos implicam não constante e não periódico. 

O Efeito Borboleta e as Determinantes Condições Iniciais

Matemático, astrônomo teórico e filósofo da ciência, o francês Henri Poincaré (1854-1912) teve papel fundamental no desenvolvimento de estudos sobre os sistemas dinâmicos e o caos determinístico. No início do século, em sua obra "Ciência e Método", Poincaré expõe com clareza a questão da sensibilidade dos sistemas às condições iniciais. Em sua análise do universo das probabilidades, o francês enfatiza a enorme influência dos pequenos erros e desvios nos fenômenos naturais. Segundo ele, a ciência clássica observa os eventos considerando apenas parte das influências aos quais o objeto está sujeito.

Em seu livro, Poincaré afirma que o conhecimento pleno das leis da natureza e das condições do universo no instante inicial permitiriam prever situações em momentos posteriores. De acordo com o matemático, no entanto, mesmo que as leis fossem perfeitamente desvendadas e conhecidas, seria possível identificar apenas de maneira aproximada as condições iniciais. Essas pequenas particularidades do momento primordial poderiam provocar enormes distorções nos eventos futuros. "Um pequeno erro nos antecedentes pode produzir um erro enorme nos acontecimentos posteriores. A predição se torna impossível e temos um fenômeno fortuito", escreve.

As idéiais de conteúdo sofisticado não foram claramente compreendidas em sua época. Seu trabalho, entretanto, é considerado um importante pilar nos modernos estudos sobre a previsibilidade de fenômenos em diversos ramos da ciência.

Recuemos um pouco no passado para compreender melhor. Vamos até 1961 encontrar Edward Lorenz a trabalhar num modelo computacional de previsão meteorológica através de um punhado de equações diferenciais. Lorenz encontrava-se extremamente satisfeito por acreditar que tinha descoberto uma certa ordem na imprevisibilidade meteorológica. Ele não sabia, mas estava prestes a descobrir um sistema caótico. Certo dia no Inverno desse ano, Lorenz necessitava de examinar uma sequência numa longa extensão de tempo. Para poupar tempo, em vez de começar tudo de novo, começou logo pela metade. Pelas leis de Sir Isaac Newton tudo deveria correr da mesma forma, mas não. Quando voltou, Lorenz deu de caras com um resultado totalmente oposto ao da sequência inicial. Primeiramente pensou que o computador tivesse avariado de vez, mas foi quando se apercebeu de que o problema estava nos números que ele digitado. Inicialmente ele introduziu 0,506127. Da segunda vez colocou apenas 0,506. Ele tinha apenas arredondado o número! A diferença entre eles era apenas de alguns milésimos, mas os resultados finais de ambos eram totalmente distintos. Os erros provaram ser catastróficos. Em 1979 publica no jornal dos meteorologistas um artigo com o seguinte título: "Predictability: Does a flap of a butterfly's wings in Brazil set off a tornado in Texas". O título pegou e ficou conhecido por Efeito Borboleta, ou Butterfly Effect. Queria ele dizer no seu artigo que algo tão insignificante como o bater de asas duma borboleta no Brasil, poderá provocar um tornado no Texas. Decerto já reparam que em certos dias quando saem de casa apenas cinco minutos mais tarde, chegam ao trabalho ou à escola já em cima da hora, senão mesmo muito atrasados. Isto é apenas um dos exemplos que podemos dar sobre a teoria do caos. Já agora e a título de curiosidade, sabiam que as diferenças genéticas entre o Homem e o chimpanzé são apenas de dois por cento (2%)!
Lorenz pegou no modelo anterior e conseguiu reduzi-lo a apenas três equações diferenciais não-lineares, mais ou menos assim:

(1) dx/dt = -10x + 10y

(2) dy/dt = 28x - y + xz

(3) dz/dt = - 8x/3 + xy

No entanto no caos não se pode aplicar a hipótese "ceteris paribus", uma vez que ele é dinâmico. Ou seja para a análise do sistema não podemos fixar umas variáveis para podermos estudar as outras. Aqui isso não se aplica, exatamente porque ele é dinâmico, está em constante mutação. Em outras palavras depois dos teóricos do caos não se pode mais dar um peido sem deixar de mexer com as estrelas.

 Representação Geométrica Fractal

De acordo com Benoit Mandelbrot "As nuvens não são esferas, as montanhas não são cones, (...), nem a luz viaja em linha recta". Todas estas formas geométricas ortodoxas perdem a sua estrutura quando ampliadas ou diminuidas. Um círculo numa escala muito maior não é nada mais que uma recta. Veja-se o caso de apenas à 500 anos se pensar que a Terra era plana, porque à escala humana não víamos mais que uma linha recta no horizonte. Mandelbrot inventou o termo fractal para descrever um objecto geométrico que nunca perde a sua estrutura qualquer que seja a distância de visão. Quando surgiram os fractais pouco ou nada estavam relacionados com o caos. Com o tempo veio-se a descobrir que são primos matemáticos. Na realidade os fractais são as linguagem que nos ilustram a forma do caos.

Além de exercício paraestético, o trabalho com fractais é hoje um símbolo sofisticado da ciência do caos, cujo objetivo é detectar padrões nas coisas desprovidas de ordem aparente. O criador das primeiras imagens de fractais, na década de 70, foi o polonês Benoit Mandelbrot, nascido de uma família judia. O cientista passou boa parte da infância e da juventude fugindo de guerras e teve sua formação intelectual marcada por saltos e interrupções.

O laborioso e criativo menino jamais decorou o alfabeto e a tabuada além de cinco. Tinha, no entanto, uma ótima intuição geométrica, que aplicava a seus estudos de economia, engenharia e fisiologia. Mandelbrot, dono de uma inteligência desorganizada e substancialmente imaginativa, acabou por dar à luz os fractais nos computadores da IBM, empresa em que trabalhou por vários anos.

Em uma tarde de inverno em 1975, o cientista encontrou no dicionário de latim do filho pequeno um nome para sua abstração. Mandelbrot escolheu o termo fractus, do verbo frangere (fraturar, quebrar), que depois se tornaria fractal. Uma palavra que se casava bem com os ingleses fracture e fraction. Um traço importante da vida daquele homem estava representado naquela expressão.

Teoria do Caos na Vida Cotidiana

1 - Suponha que tem alguns berlindes e resolve atirá-los no chão. Ao fazer isso, observa que depois de um algum tempo os berlindes param nas suas posições. Agora junte os berlindes e repita a experiência.  Será que os berlindes se irão  posicionar exatamente como na vez anterior? É esperado que não. Mesmo que tente atirá-los da mesma posição não conseguirá ter precisão suficiente para posicioná-los corretamente.  Isso acontece porque o lançar de berlindes está sujeito a diferentes condições iniciais e o próprio cair dos berlindes pode alterar as condições gerais do próximo lançamento.

2 - O trânsito é outro exemplo.  Já observou que há dias em que o congestionamento é maior. É bem provável que o transtorno tenha sido causado por um carro acidentado, ou uma empresa dispensou os seus funcionários mais cedo e houve um fluxo maior num cruzamento e outros azares semelhantes. Mesmo assim, o número de variáveis é grande e o comportamento do sistema depende muito das condições iniciais. Nunca se sabe quando o trânsito está bom ou mau.  Um simples cão vadio atravessando a rua pode teoricamente ser o responsável pelo engarrafamento no fim do dia pois o efeito que ele cria ao obrigar um motorista a desacelerar se acumula em outros carros que seguem atrás e se multiplica exponencialmente com o passar das horas e a interação dos elementos no transito.

3 - Já reparou nas formas do litoral e nas ilhas? Umas são alongadas, outras circulares, diferem de tamanho, mas podem ser de formas análogas. São como Fractais, a sua formação deve-se a um conjunto de forças complexas e resultaram num formato padrão. Será que existem ilhas quadradas? Muitos outros exemplos poderiam ser citados, mas não nos esqueçamos que na natureza existem também fenômenos simples como a queda de um objeto, o som, o movimento dos astros, etc. Nem tudo é caótico. Quando falamos num sistema complexo não nos estamos a referir somente à complexidade operacional, mas também à complexidade de elementos (as subtilezas do meio em que se passa e a pluralidade de variáveis).

 Aplicações Práticas da Matemática do Caos

A teoria do caos interessa-se por questões de ordem e desordem na Natureza. O caos procura a ordem existente em padrões complexos ou aleatórios, ao contrário do que muitas vezes se pode pensar. Ela "coloca o seu enfâse na ordem inerente a um sistema, o comportamento universal de sistemas similares". No cerne da teoria do caos está a ordem escondida em factos que nos surgem à primeira vista desordenados.

Nos últimos anos, a difusão do uso de computadores possibilitou a resolução de equações deterministas newtonianas não-lineares, cujas soluções são extremamente sensíveis à condição inicial. "Ao contrário da mecânica quântica, que é indeterminista mas faz predições, parte-se agora de uma teoria determinista e chega-se a uma situação de imprevisibilidade", afirma o doutor em física Luiz Pinguelli Rosa, da Universidade Federal do Rio de Janeiro. "Daí o nome de caos determinista, muito usado pelos pesquisadores."

Segundo Rosa, no entanto, o estudo do caos nos sistemas dinâmicos não deve ser visto como uma disputa conceitual de escolas científicas ou filosóficas. O professor vê aplicações práticas das novas descobertas na avaliação do comportamento de sistemas aparentemente desordenados, instáveis e aperiódicos. "A Medicina e a Biologia, por exemplo, têm utilizado com sucesso os conceitos desenvolvidos em outras áreas na avaliação de sistemas dinâmicos", ressalta. "Na universidade temos realizado trabalhos para avaliar o comportamento de produtos utilizados pela engenharia química." Dessa forma, tem sido possível avaliar a resposta de materiais a mudanças de regime e a situações não convencionais.

O professor destaca o alcance inimaginável do estudo dos problemas não-lineares. No caso da Economia, por exemplo, as polêmicas se multiplicam a cada dia. O comportamento das Bolsas de Valores, em particular, é um fenômento que intriga e desafia matemáticos todos os dias. Muitos computadores foram desmoralizados ao tentar prever com precisão eventos no mercado de ações.

No caso da macro-economia, colocam-se na linha de tiro os conceitos do liberalismo. O equilíbrio perfeito, supostamente resultante do livre comércio e da ausência de intervenção, pode jamais ser alcançado. Esse universo paradisíaco de prosperidade tende a se manifestar somente como uma trégua temporal e localizada em um ambiente de deformações e de evolução caótica. Na verdade, estuda-se hoje para diminuir o grau de indeterminismo dos processos e para dominar o conhecimento dos modelos heterogêneos que se misturam em um fenômeno. Esse é o grande desafio dos cientistas nesta conturbada esquina de milênios.

Nas últimas décadas, depois de um árduo trabalho, matemáticos e físicos elaboraram teorias para explicar o caos. Hoje  sabe-se muito a respeito de fenómenos imprevisíveis, e já é possível ver os resultados. Por exemplo, em 1997, dois americanos conseguiram encontrar uma fórmula para prever aplicações financeiras e com isso ganharam o Prémio Nobel da Economia. O caos tem pois aplicações em todas as áreas.O caos veio permitir uma grande interdisciplinareidade entre ciências, ligando por exemplo a matemática e a biologia. A sua aplicação nas mais variadas ciências: Educação; Saúde; Políticas Sociais; Demografia; etc, etc, trouxeram-nos uma nova perspectiva sobre os acontecimentos. Isto permite-nos compreender melhor as irregularidades e contrariedades da natureza e da realidade.

Fontes:

http://www.geocities.com/inthechaos/

http://www.terravista.pt/nazare/2319/caos/

http://www.ime.uerj.br/~progerio/iniciacao/2002/projeto.pdf